Calculo Vectorial: Diciembre

MÁXIMOS Y MÍNIMOS O PUNTOS EXTREMOS

DEFINICIÓN:

*Una función de dos variables tiene un máximo relativo en (a,b) si f(x,y)<=f(a,b) cuando esta cerca de (a,b).

*El valor de f(a,b) recibe el nombre de VALOR MÁXIMO RELATIVO.

*Si se cumple que f(x,y)>=f(a,b) cuando (x,y) esta cerca de (a,b), es un mínimo relativo en (a,b) y f(a,b) recibe el nombre de VALOR MÍNIMO RELATIVO.

*Si estas condiciones de desigualdad se cumplen en todo el dominio de f(x,y) entonces toma el nombre de máximos y mínimos absolutos.

TEOREMA:

Si f, tiene un máximo o un mínimo relativo en (a,b), las derivadas parciales de primer orden existen ahí, entonces: fx(a,b)=fy(a,b)=0

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Suponga que las dos derivadas parciales de f(x,y) existen y son continuas en un disco de centro (a,b) y suponga que fx(a,b)=0 y fy(a,b)=0, es decir (a,b) es un PUNTO CRITICO de f(x,y). Sea:

D=D(a,b)=fxx(a,b) fyy(a,b) - [fxy(a,b)]^2

i) Si D>0 ^ fxx(a,b)>0 → Existe mínimo relativo en (a,b)

ii) Si D>0 ^ fxx(a,b)<0 → Existe máximo relativo en (a,b)

iii) Si D<0 ^ f(a,b)>0 es un punto de silla (min y max a la vez)

D= | fxx fxy |

| fyx fyy |

MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS

Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R^2, entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(x1;y1) y un valor mínimo absoluto f(x2;y2) en algunos puntos (x1;y1) y (x2;y2) en D

Para determinar los extremos absolutos:

1. Se calculan los valores de f en los puntos críticos de f en D

2. Se determinan los valores extremos de f en la frontera de D

3. El valor mas grande es el máximo absoluto (Mabs) y el valor mas pequeño es el mínimo absoluto(mabs)

Máximo Absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo Absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS

EJEMPLO:

INTEGRALES MÚLTIPLES

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIÓN RECTANGULAR

Suponga que f(x, y) está definida sobre una región rectangular R dada por

R: a<x<b, c<y<d.

Imaginamos R cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x y y. Esas rectas dividen R en pequeños elementos de área "A1, "A2…, "An, escogemos un punto (xk, yp) en cada elemento "Ak y formamos la suma

INTEGRALES DOBLES INTERPRETACIÓN COMO VOLUMEN
Las integrales dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son útiles en los cálculos y en las aplicaciones.